Арифметические и логические основы работы компьютера процессор. Арифметические и логические основы работы компьютера Арифметические основы работы компьютера кратко

а) Логические основы работы компьютера

Алгебра логики - это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля . Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Логическое высказывание - это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение "6 - четное число " следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим - столица Франции " тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием . Высказываниями не являются, например, предложения "ученик десятого класса " и "информатика - интересный предмет ". Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный предмет ". Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа "в городе A более миллиона жителей ", "у него голубые глаза " не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами .

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания . Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км " в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой - истинным. Ложным - так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным - если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний "Петров - врач ", "Петров - шахматист " при помощи связки "и " можно получить составное высказывание "Петров - врач и шахматист ", понимаемое как "Петров - врач, хорошо играющий в шахматы ".

При помощи связки "или " из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров - врач или шахматист ", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ".

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В - высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В . Здесь "и" - логическая связка, А, В - логические переменные, которые мoгут принимать только два значения - "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна - спутник Земли " (А); "Луна - не спутник Земли " ().

И "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или & ). Высказывание А. В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" - ложны.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" - истинны.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логичеcкой схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и другие (называемые также вентилями ), а также триггер.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния - “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий - значению “ложь” (“0”).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Тема : «Арифметические и логические основы работы компьютера»

Цели :

Образовательные:

• сформировать у студентов понятие форм мышления;

  сформировать у студентов понимание арифметических и логических основ работы компьютера;

  сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Воспитательные:

• развивать у студентов положительное отношение к предмету;

  развивать у студентов наблюдательность, внимание, логическое мышление;

  формировать у студентов потребность приобретения знаний.

Развивающие:

• воспитывать у студентов умение слушать преподавателя;

  воспитывать у студентов взаимоуважение, чёткость, аккуратность и чистоту записей.

План :

Организационный момент:

приветствие;

формулировка целей, темы занятия.

2. Ознакомление с новым материалом:

формы мышления.

логические выражения и операции.

3. Закрепление изученного материала (решение упражнений).

Подведение итогов:

вывод о проделанной работе (оценка работы класса в целом и отличившихся студентов на уроке);

запись домашнего задания;

постановка целей на следующее занятие;

прощание.

Требования к знаниям и умениям студентов:

Студенты должны знать:

формы мышления, значение понятий: логическое высказывание, логические величины, логические операции;

арифметические и логические основы работы компьютера.

Студенты должны уметь:

приводить примеры логических высказываний;

называть логические величины, логические операции.

Постановка целей занятия:

Сформировать у студентов понятие форм мышления.

Сформировать у студентов понимание арифметических и логических основ работы компьютера.

Сформировать понятия: логическое высказывание, логические величины, логические операции.

Вопросы:

Как человек мыслит?

Что в нашей обыкновенной речи является высказыванием, а что - нет? Предложение «Кто последний?» - это высказывание или нет?

Арифметическое умножение и логическое умножение. В чём сходство и различие?

Ознакомление с новым материалом

Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому для получения представления об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов начнем это знакомство с основных начальных понятий алгебры логики.

Формы мышления

В основе современной логики лежат учения, созданные ещё древнегреческими мыслителями, хотя первые учения о формах и способах мышления возникли в Древнем Китае и Индии. Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления от его содержания.

Логика - это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.

Законы мира, сущность предметов, общее о них мы познаём посредством абстрактного мышления. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.

Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.

Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.

Пример 1.

Прямоугольник, проливной дождь, компьютер – это понятия.

Высказывание - это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.

По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Истинным будет высказывание , в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае , когда оно противоречит реальной действительности.

Пример 2.

Истинное высказывание: «Буква «а» - гласная».

Ложное высказывание: «Компьютер был изобретён в середине 19 века».

Упражнение 1 (устно)

Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

Какой длины эта лента? (не является высказыванием)

Прослушивание данного сообщения.

Делайте утреннюю зарядку! (не является высказыванием)

Какие устройства ввода информации вы знаете? (не является высказыванием)

Кто отсутствует? (не является высказыванием)

Париж - столица Англии.

Число 11 является простым. (является истинным высказыванием)

4 + 5 = 10. (является ложным высказыванием)

Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. (является истинным высказыванием)

Сложите числа 2 и 5, что у вас получится? (не является высказыванием)

Некоторые медведи живут на севере. (является истинным высказыванием)

Все медведи - бурые. (является ложным высказыванием)

Чему равно расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга? (не является высказыванием)

Умозаключение позволяет на основе известных фактов, выраженных в форме суждений, получить новое знание.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Пример 3.

Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получите высказывание «Этот треугольник равносторонний» путём умозаключений.

Доказательство:

Пусть основанием треугольника является сторона с, тогда а = b.

Т. к. в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например а, тогда b = c.

Следовательно, a = b = c, треугольник равносторонний.

Логические выражения и операции

Алгебра - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики.

Алгебра логики - это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются над высказываниями. Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Можно определить понятие логической переменной, логической функции и логической операции.

Логическая переменная - это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение - латинская буква (например, A, B, X, Y и т. д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

Составное высказывание - логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединённых между собой с помощью логических операций. Её символическое обозначение - F(A, B,…).

На основе простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции - логическое действие.

Таблица истинности - таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний.

Рассмотрим три базовые логические операции - конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание и дополнительные - импликацию и эквиваленцию.

Пояснение : по ходу изложения материала заполните следующую таблицу:

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить. Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА.

При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:

действия в скобках;

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Пример 4.

Запишите в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдёт на рыбалку».

Проанализируем составное высказывание.

Оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдёт на рыбалку». Обозначим их через логические переменные:

А = Петя поедет в деревню;

В = Будет хорошая погода;

С = Он пойдёт на рыбалку.

Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки:

F = A & (B → C ).

Закрепление изученного материала

Упражнение 2

Есть два простых высказывания:

А – «Число 10 - чётное»;

В - «Волк - травоядное животное».

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность.

Ответ:

Упражнение 3.

Запишите следующие высказывания в виде логических выражений.

Число 17 нечётное и двузначное.

Неверно, что корова - хищное животное.

На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.

Если число делится на 2, то оно - чётное. Переходи улицу только на зелёный свет.

На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

Если Маша - сестра Саши, то Саша - брат Маши.

Если компьютер включен, то можно на нём работать.

Ты можешь купить в магазине продукты, если у тебя есть деньги.

Компьютер выполняет вычисления, если он включен.

Упражнение 4.

Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

Неверно, что 10 Y ≥ 5 и Z

Z является min(Z,Y).

А является max(A,B,C).

Любое из чисел X,Y,Z положительно.

Любое из чисел X,Y,Z отрицательно.

Хотя бы одно из чисел K,L,M не отрицательно.

Хотя бы одно из чисел X,Y,Z не меньше 12.

Все числа X,Y,Z равны 12.

Если X делится на 9, то X делится на 3.

Если X делится на 2, то оно чётное.

Упражнение 5.

Найдите значения логических выражений:

F = (0 ٧ 0) ٧ (1 ٧ 1). (Ответ: 1 )

F = (1 ٧ 1) ٧ (1 ٧ 0). (Ответ: 1 )

F = (0 & 0) & (1 & 1). (Ответ: 0)

F = ¬ 1 & (1 ٧ 1) ٧ (¬ 0 & 1). (Ответ: 1)

F = (¬ 1٧ 1) & (1 ٧ ¬ 1) & (¬ 1 ٧ 0). (Ответ: 0)

Домашнее задание:

Уровень знания .

Выучить основные определения, знать обозначения.

Уровень понимания .

Задача 1. Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И», «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность.

1. Андрей старше Светы. Наташа старше Светы.

   Один десятый класс идёт на экскурсию в музей. Второй десятый класс идёт в театр.

   На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

   Часть детей - девочки. Часть детей - мальчики.

Задача 2. Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:

1. (Y 1 и Y или (Y и Y 4);

   (X = Y) и (X = Z);

   не (X) и X≤ 10 или (Y 0);

   (0 и (X ≤ 5) и (не(Y)).

Задача 3. Какое логическое выражение соответствует высказыванию: «Точка X принадлежит интервалу (А,В)».

1. (X или (X B);

2. не (X) или (X);

   (X A) или (X B).

Уровень применения .

Приведите примеры составных высказываний из приведённых ниже школьных предметов и запишите их с помощью логических операций:

1. биология;

   география;

   информатика;

2. литература;

   математика;

   Логика, как наука развивается с IV в. до н. э. начиная с трудов Аристотеля. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение.

   Логика – (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления. Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.

   Рис. 1. Основные формы абстрактного мышления

   Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Всякое понятие имеет содержание и объем. Например, понятие “Черное море” – отражает единичный предмет, “Сиамская кошка” – отражает класс сиамских кошек.

   Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, Абакан – столица Хакасии. Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

   Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Умозаключения бывают: Дедуктивные (от общего к частному) – Все ученики ходят в школу. Вася – ученик. Вася ходит в школу. Индуктивные (от частного к общему) – Банан и персик – сладкие. Значит, все фрукты сладкие на вкус. Аналогия – Наши коровы едят траву и дают молоко. В Австралии есть поля, коровы едят эту траву. Следовательно, австралийские коровы тоже дают молоко.

   В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С). Истина, ложь – логические константы.

   Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).

   Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

   	|	следующая лекция ==>
   Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти ЭВМ.	|

Арифметическая обработка чисел во многом определяется системами счисления, представляющими собой совокупность используемых цифр и набором правил, позволяющих однозначно представлять числовую информацию.

В своей повседневной деятельности человек использует различные системы счисления, к числу которых относятся десятичная система счисления, римская система, система исчисления времени и т.д. Все системы счисления можно подразделить на позиционные и непозиционные.

В не позиционных системах счисления «доля» цифры или её вес в количественном измерении записанного числа не зависит от местоположения данной цифры в записи этого числа. Типичным примером такой системы счисления является римская система счисления. В этой системе используются цифры:

I V X L C D M и т.д. - римские цифры;

1 5 10 50 100 500 1000 - десятичные эквиваленты. римским цифрам.

При количественной оценки числа его значение определяется как сумма значений цифр, составляющих запись числа, кроме пар, состоящих из цифры меньшего веса, предшествующей цифре большего веса, значение которой определяется как разность веса большей и меньшей цифр. Например, значение числа

определяется как сумма

1000 + 1000 + 1000 +(1000-100) + 50 + (10- 1), что соответствует десятичному эквиваленту 3959.

Позиционная система счисления характеризуется тем, что «доля» некоторой цифры в количественной оценки записанного числа определяется не только видом цифры, но и местоположением (позицией) данной цифры в записи числа, т.е. каждая позиция (разряд) в записи числа имеет определенный вес.

Количественная оценка записанного числа в такой системе счисления определяется как сумма произведений значения цифр, составляющих запись числа, умноженных на вес позиции, в которой располагается цифра.

Примером такой системы счисления является широко используемая десятичная система счисления. Например, количественная оценка десятичного числа

определяется как

3*1000+9*100+5*10 +9*1, где 1000, 100, 10, 1 - соответственно веса четвертого, третьего, второго, первого разрядов записи оцениваемого числа.

Десятичная система счисления является также системой с равномерно распределенными весами, которые характеризуются тем, что соотношение весов двух любых соседних разрядов имеют для такой системы одинаковое значение. Это соотношение называется основанием системы счисления, которое в дальнейшем будем обозначать как «q».

Общая запись числа в системе с равномерно распределенными весами имеет вид

N q = А n А n-1 .... А 2 А 1 А 0 . (1)

Значение такого числа определяется как

N q = А n *q n + А n-1 *q n-1 + А n-2 *q n-2 + ..... А 2 *q 2 + А 1 *q 1 + А 0 *q 0 , (2)

где А i - цифра записи числа, удовлетворяющая условию

0<= А i <=(q-1);

q - основание системы счисления.

При q =10 А изменяется в диапазоне от 0 до 9, т.е. до (10-1).

Запись числа N в виде (1) называется кодированной, а запись в форме (2) называется расширенной записью.

Помимо q=10 (десятичная система счисления ) возможны другие значения для основания системы счисления:

двоичная система счисления ;

восьмеричная система счисления ;

шестнадцатеричная система счисления и т.д.

Для обозначения цифр в различных системах счисления в качестве цифр используются обозначение соответствующих цифр десятичной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в случае, когда десятичных цифр «не хватает» (для систем счисления с основанием q , большим чем 10), для цифр, превышающих 9, вводятся дополнительные обозначения, например, для q =16 это будут обозначения А, В, C, D, E, F, которые соответствуют шестнадцатеричным цифрам, десятичные эквиваленты которых равны, соответственно 10, 11, 12, 13, 14, 15.

В связи с тем, что в дальнейшем изложении будут использоваться различные системы счисления, примем обозначение:

N q - число N, представленное в системе счисления с основанием q.

Примеры записи чисел в различных системах счисления:

N 2 = 10011011 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 +1*2 0 ,

N 8 = 471025 =4*8 5 + 7*8 4 + 1*8 3 + 0*8 2 + 2*8 1 +5*8 0 ,

N 16 = 84FE4A= 8*16 5 + 4*16 4 + F*16 3 + E*16 2 + 4*16 1 +A*16 0 ,

N 10 = 35491 = 3*10 4 + 5*10 3 + 4*10 2 + 9*10 1 + 1*10 0 .

На основании вышеизложенного можно заключить, что запись одного и того же числа в различных системах счисления будет тем длиннее, чем меньше основание системы счисления. Например, число N, десятичное значение которого равно 2063, в различных системах счисления представляется как

N = 2063 10 = 100000001111 2 =4017 8 = 80F 16 .

При работе с различными сиcтемами счисления полезно помнить соотношения, приведенные в Таблица 1.1 -1 и Таблица 1.1 -1.

Таблица 1.1‑1

Человек в своей практической деятельности наиболее часто использует десятичную систему счисления.Двоичная система счисления является удобной для обработки информации в ЭВМ. Промежуточное место между этими системами занимаетдвоично-десятичная система счисления. Эта система в принципе является десятичной, но отдельные десятичные цифры в ней записываются в виде набора двоичных разрядов. Существуют различные двоично-десятичные системы,

Таблица 1.1‑1

					Десятичный эквивалент	Двоичный эквивалент

которые, отличаются способом представления набором двоичных разрядов десятичных цифр. Наиболее широкое распространение получила двоично-десятичная система 8,4,2,1. Данная система характеризуется тем, что отдельные десятичные цифры в ней представляются их четырех битовым двоичным эквивалентом, как это показано в таблице 1.1-2.Например, десятичное число

в двоично-десятичной системе 8,4,2,1 представляется в виде

1000 0000 0100 0111 0001 0100.

В дальнейшем для сокращения будем использоваться название «двоично-десятичная система», имея в виду двоично-десятичную систему 8,4,2,1.

НОУ « ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»

кафедра математики и естественных наук

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ ЭВМ

Выполнил: студент группы 1- МТ71з

ШАЛИМОВ АЛЕКСЕЙ ЭДУАРДОВИЧ

Проверил:

МАКАРОВА МАРИЯ АЛЕКСАНДРОВНА

ВОЛГОГРАД 2008

Введение

1. Представление информации в компьютере

2. Системы счисления

3. Перевод числа из одной системы счисление в другую

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Заключение

Список литературы

Введение

Качественно новое обслуживание информационных процессов, пронизывающих различные сферы человеческой деятельности тесным образом связано с использованием современной электронно-вычислительной техники.

Термин компьютер, так прочно вошедший в русский язык, в переводе означает «вычислитель», т.е. устройство для осуществления вычислений.

Потребность в автоматизации вычислений или, как сейчас говорят - обработки данных, возникла давно. Уже более полутора тысяч лет назад для облегчения вычислений стали использовать счеты.

Но только в 1642 году Блез Паскаль изобрел устройство для механического сложения чисел, а в 1673 году Г. В. Лейбниц сконструировал арифмометр, позволявший механическим способом выполнять четыре арифметических действия, И хотя, начиная с XIX века, арифмометры получили широкое распространение, у них был один существенный недостаток: расчеты производились очень медленно. Причина проста - выбор выполняемых действий и запись результатов при осуществлении расчетов производилась человеком, скорость работы которого весьма ограничена.

Для устранения этого недостатка английский математик Ч. Бэббидж попытался построить универсальное вычислительное устройство, выполняющее вычисления без участия человека. Для этого оно должно было уметь исполнять программы, вводимые с помощью перфокарт (прямоугольных пластин из плотной бумаги с информацией, наносимой при помощи отверстий). Бэббидж не смог довести до конца работу по созданию своей Аналитической машины: ее устройство оказалось слишком сложным для технического оснащения промышленности первой половины XIX века. Однако идеи, заложенные в основу этого устройства, позволили американцу Г. Эйкену в 1943 году построить на одном из предприятий фирмы IBM машину, функционирующую на электромеханических роле и получившую название «Марк-1».

К этому времени потребность в автоматизации обработки данных (в первую очередь, для военных нужд - баллистики, криптографии и т.д.) стала настолько ощутимой, что над созданием подобных машин одновременно работало несколько групп исследователей в разных странах мира. Начиная с 1943 года, группа специалистов под руководством Д. Мочли и П. Экерта в США занималась конструированием более современной вычислительной машины на основе электронных ламп, которая могла бы хранить выполняемую программу в своей памяти. Для ускорения работы в 1945 году к этому проекту был привлечен знаменитый математик Джон фон Нейман. В результате его участия был подготовлен доклад, содержавший целый ряд принципов, на основе которых и должна была функционировать разрабатываемая машина.

Первый компьютер, в котором в полной мере реализовались принципы фон Неймана был построен в 1949 году английским исследователем М. Уилксом. С той поры прошло более 50 лет, и тем не менее, большинство современных компьютеров в той или ином степени соответствуют принципам, изложенным фон Нейманом.

В своей работе Д. Фон Нейман описал, как должен быть устроен компьютер для того, чтобы он был универсальным и эффективным устройством обработки информации (рис.1). В состав такого компьютера должны входить:

♦ арифметико-логическое устройство, выполняющее арифметические и логические операции;

♦устройство управления, организующее процесс выполнения программ и синхронизирующее работу остальных устройств компьютера;

♦запоминающее устройство (память), предназначенное для хранения выполняемых программ и обрабатываемых данных;

♦внешние устройства, предназначенные для ввода и вывода информации.

1 Представление информации в компьютере

Компьютер может обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме. Вся остальная информация (например, звук, видео, графические изображения и т.д.) перед обработкой на компьютере должна быть преобразована в числовую форму. Так, чтобы привести к цифровому виду (оцифровать) музыкальный звук, можно через небольшие промежутки времени измерять интенсивность звука на определенных частотах, представляя результаты каждого измерения в числовой форме. Затем, с помощью специальной компьютерной программы осуществляются необходимые преобразования полученных данных: наложение звуков от различных источников друг на друга (эффект оркестра), изменение тональности отдельных звуков и т.п. После чего, окончательный результат преобразуется обратно в звуковую форму.

2. Системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Двоичная система счисления. В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Десятичная система счисления. Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.

Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления. Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100+ 7 * 10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 +… + a1 q1 + a0q0+ a-1 q-1 +… + a-m q-m ,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы счисления.

Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел.

Единицей информации в компьютере является один бит (bit), т.е. двоичный разряд, который может принимать значение 0 или 1. Бит - это фундаментальная единица, определяющая количество информации, подвергаемое обработке или переносимое из одного места в другое. Поскольку биты записываются нулями и единицами, их последовательные совокупности позволяют кодировать двоичные числа (binarynumbers) - значение в двоичной системе счисления.

В более привычной для человека десятичной системе счисления (по основанию 10) для представления чисел используется десять символов: 0, 1, 2, 3, 4,5,6,7,8и 9. Чтобы составить число, значение которого в десятичной системе счисления больше 9 (например, 27), комбинируют две цифры: при этом позиции символов имеют определенный смысл. Прогрессия значений, связанная с позицией цифры, возрастает, как показано на рис. 2., пропорционально степени основания.

Рис. 2. Пример представления числа в десятичной системе счисления

Десятичное число, состоящее хотя бы из двух цифр, является суммой различных степеней основания, умноженных на соответствующую цифру. Так, число 10 представляет собой сумму из одного десятка (101) и нуля единиц (100), а число 423 - сумму из четырех сотен (102), двух десятков (101) и трех единиц (100).

Рассмотренный метод представления чисел достаточно универсален и используется в других системах счисления, в которых основание отлично от десяти. Например, в системе с основанием 8 задействовано восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, а значимость каждой позиции возрастает пропорционально степени числа 8, как показано на рис.3.




Рис. 3. Пример предоставления числа в восьмеричной системе счисления.

Как уже отмечалось, компьютер способен обрабатывать информацию в двоичной системе счисления. В ней используются только два символа 0 и 1, а смещение символа на одну позицию влево увеличивает значение числа пропорционально степени основания 2. На рис. 4 показано восьмибитовое (1 байт) представление числа 58 в двоичной системе счисления.

Рис. 4. Пример представления числа в двоичной системе счисления.

3. Перевод числа из одной системы счисление в другую

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления. Эта система имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Являясь удобной для компьютеров, для человека двоичная система неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

То есть, чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16 .

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Пpи переводе правильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех поp, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный пеpевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpое поместится в ячейку.

Пример: Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 0,3510 = 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .

Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную?

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

4. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример: Сложим числа 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F16 + 616 15 + 6 = 2110 = 101012 = 258 ;

Ответ: = 1516 .

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

101012 = 24 + 22 + 20= 16+4+1=21,

258 = 2*81 + 5*80= 16 + 5 = 21,

1516 = 1*161 + 5*160= 16+5 = 21.

Вычитание

Пример: Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016 .

Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,2510 – 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816 .

Проверка: Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20+ 2–1 = 141,5;

215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80+ 4*8–1 = 141,5;

8D,816 = 8*161 + D*160+ 8*16–1 = 141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример: Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5*6 = 3010 = 111102 = 368 .

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 368 = 3 81 + 6 80= 30.

Пример: Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518 .

Проверка: Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20= 5865;

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80= 5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример: Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58 .

Пример: Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 133518:1638

Ответ: 5865: 115 = 5110 = 1100112 = 638 .

Проверка: Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20= 51; 638 = 6*81 + 3*80= 51.

Заключение

В структуру автоматизированной информационной системы входят несколько подсистем. Одной из таких подсистем является математическое и программное обеспечение, то есть совокупность математических методов, моделей, алгоритмов и программ для реализации целей и задач информационной системы, а также нормального функционирования комплекса технических средств.

Фундаментом науки о вычислительных машинах является конструктивная математика, в основе которой лежит математическая логика и теория алгоритмов с их однозначностью в оценке суждений и процедур вывода. Для описания элементов и узлов ЭВМ с самого начала использовалась математическая логика, а для описания компьютерных программ - теория алгоритмов.

Математическая логика - это дисциплина, изучающая технику математических доказательств. Отличие математических суждений от обычных разговорных высказываний состоит в том, что математические суждения всегда предполагают однозначную интерпретацию, в то время как наши обычные высказывания зачастую допускают многозначную трактовку.

Работа ЭВМ как автоматических устройств основана исключительно на математически строгих правилах выполнения команд, программ и интерпретации данных. Тем самым работа компьютеров допускает строгую однозначную проверку правильности своей работы в плане заложенных в них процедур и алгоритмов обработки информации.

С появлением самых первых компьютерных программ, имитирующих интеллектуальную деятельность людей, возникло понятие«искусственный интеллект» ивсе компьютерные программы, демонстрирующиеинтеллектуальное поведение, основаны на использовании определенного математического аппарата, опирающегося на законы математической логики и соответственно, имеющего арифметические основы. Без понимания этих законов и основ невозможно понимание принципов работы вычислительных машин вообще и систем искусственного интеллекта в частности.




Список литературы

1. Громов Ю. Ю., О. Г. Иванова, А. В. Лагутин. Информатика: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002.

2. Каймин В.А. Информатика: Учебник. - М.: ИНФРА-М,2000.

3. Сергеева И.И., Мазулевская А.А., Тарасова Н.В. Информатика: учебник. – М.: ИД «Форум»: ИНФРА – М, 2007.