Решить показательные уравнения и неравенства онлайн. Показательные неравенства

Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих .

{5^{{x^2} - x - 1}} - {2^{{x^2} - x}}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Группируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее для этого развести их по разные стороны неравенства:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Из каждой пары степеней выносим за скобки общий множитель — степень с меньшим показателем. Вынести за скобки общий множитель- значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели вычитаем:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Делить можно сразу на 20 (20=4∙5), но практика показывает, что деление в два этапа позволяет избежать возможных ошибок:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как основание 2/5<1, показательная функция

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

Квадратичное неравенство решим методом интервалов . Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2. Отмечаем их на числовой прямой.

Для проверки знака возьмем нуль: 0²-0-2=-2, в промежуток, которому принадлежит нуль, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как решаем неравенство, в котором левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-«.

Ответ: x ∈ (-1; 2).

Вариант неравенств такого вида — все степени имеют одинаковые основания, но отличаются коэффициентами при x в показателях.

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Пришли к показательному неравенству . Так как основание 7>1, функция

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

Чтобы решить это неравенство методом интервалов перенесем все слагаемые в левую часть и приведём дроби к

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Урок и презентация на тему: "Показательные уравнения и показательные неравенства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Определение показательных уравнений

Определение. Уравнения вида: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ называются показательными уравнениями.

Вспомнив теоремы, которые мы изучали в теме "Показательная функция", можно ввести новую теорему:
Теорема. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.

Примеры показательных уравнений

Б) $\sqrt{\frac{2}{3}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}$.
Тогда наше уравнение можно переписать: ${(\frac{2}{3})}^{2x+0,2}={(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{5}}={(\frac{2}{3})}^{0,2}$.
$2х+0,2=0,2$.
$х=0$.
Ответ: $х=0$.

В) Исходное уравнение равносильно уравнению: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ и $x_2=-3$.
Ответ: $x_1=6$ и $x_2=-3$.

Пример.
Решить уравнение: $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=16*{(0,0625)}^{x+1}$.
Решение:
Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям.
Выполним ряд операций в левой части:
1) ${(0,25)}^{x-0,5}={(\frac{1}{4})}^{x-0,5}$.
2) $\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}$.
3) $\frac{{(0,25)}^{x-0,5}}{\sqrt{4}}=\frac{{(\frac{1}{4})}^{x-0,5}}{4^{\frac{1}{2}}}= \frac{1}{4^{x-0,5+0,5}}=\frac{1}{4^x}={(\frac{1}{4})}^x$.
Перейдем к правой части:
4) $16=4^2$.
5) ${(0,0625)}^{x+1}=\frac{1}{{16}^{x+1}}=\frac{1}{4^{2x+2}}$.
6) $16*{(0,0625)}^{x+1}=\frac{4^2}{4^{2x+2}}=4^{2-2x-2}=4^{-2x}=\frac{1}{4^{2x}}={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
Исходное уравнение равносильно уравнению:
${(\frac{1}{4})}^x={(\frac{1}{4})}^{2x}$.
$x=2x$.
$x=0$.
Ответ: $х=0$.

Пример.
Решить уравнение: $9^x+3^{x+2}-36=0$.
Решение:
Перепишем наше уравнение: ${(3^2)}^x+9*3^x-36=0$.
${(3^x)}^2+9*3^x-36=0$.
Давайте сделаем замену переменных, пусть $a=3^x$.
В новых переменных уравнение примет вид: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ и $a_2=3$.
Выполним обратную замену переменных: $3^x=-12$ и $3^x=3$.
На прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Значит, первое уравнение не имеет решений, второе уравнение имеет одно решение: $х=1$.
Ответ: $х=1$.

Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений:
1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке).
2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда, когда равны степени (показатели) этих оснований. $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ $f(x)=g(x)$.
3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять, если уравнение при замене переменных упрощает свой вид и его гораздо легче решить.

Пример.
Решить систему уравнений: $\begin {cases} {27}^y*3^x=1, \\ 4^{x+y}-2^{x+y}=12. \end {cases}$.
Решение.
Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности:
$27^y*3^x=1$.
$3^{3y}*3^x=3^0$.
$3^{3y+x}=3^0$.
$x+3y=0$.
Рассмотрим второе уравнение:
$4^{x+y}-2^{x+y}=12$.
$2^{2(x+y)}-2^{x+y}=12$.
Воспользуемся методом замены переменных, пусть $y=2^{x+y}$.
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ и $y_2=-3$.
Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем $x+y=2$. Второе уравнение не имеет решений. Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: $\begin {cases} x+3y=0, \\ x+y=2. \end {cases}$.
Вычтем из первого уравнения второе, получим: $\begin {cases} 2y=-2, \\ x+y=2. \end {cases}$.
$\begin {cases} y=-1, \\ x=3. \end {cases}$.
Ответ: $(3;-1)$.

Показательные неравенства

Теорема. Если $а>1$, то показательное неравенство $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)>g(x)$.
Если $0a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x)

Пример.
Решить неравенства:
а) $3^{2x+3}>81$.
б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4} в) ${0,3}^{x^2+6x}≤{0,3}^{4x+15}$.
Решение.
а) $3^{2x+3}>81$.
$3^{2x+3}>3^4$.
Наше неравенство равносильно неравенству:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

Б) ${(\frac{1}{4})}^{2x-4} ${(\frac{1}{4})}^{2x-4} В нашем уравнении основание при степени меньше 1, тогда при замене неравенства на эквивалентное необходимо поменять знак.
$2x-4>2$.
$x>3$.

В) Наше неравенство эквивалентно неравенству:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Воспользуемся интервальным методом решения:
Ответ: $(-∞;-5]U}